Почему нельзя делить на ноль: простые объяснения
Почему нельзя делить на ноль? Кто и почему запрещает нам эту математическую операцию? Сразу отметим, что деление на ноль в рамках школьной программы определяется как операция, которую запрещено совершать, а вот высшая математика смотрит на этот вопрос иначе. Тем не менее школьники обязательно зададут вопрос, почему на ноль делить нельзя. Прочтите статью и будьте готовы простыми словами объяснить сложное явление.
Что будет, если разделить на ноль: индийский ответ
Ноль был придуман в Индии, равно как и отрицательные числа. Европейцам такие понятия даже в голову не приходили. А вот индийские философы любили задуматься о бесконечном «ничто» или о математическом выражении долгов. Так и возникла дилемма: делить на ноль или нет. Есть простые объяснения этого вопроса.
Почему нельзя делить на ноль: ответы: Nur.kz
Около 1400 лет назад в Индии жил и работал некто Брахмагупта, который не только сформулировал этот вопрос, но и нашел оригинальное объяснение. Логика ученого была такова:
- Берем лимон и последовательно делим его на части.
- В какой-то момент дольки станут совсем крохотными.
- Теоретически последняя стадия такого деления должна равняться нулю.
Если при делении лимона получается не две части, а число, которое стремится к бесконечности, то каков будет размер каждой дольки? Наверное, столкнемся с бесконечным числом «нулевых долек». В реальной жизни результат такой нарезки — лужица лимонного сока с бессчетным количеством ломтиков.
То есть если число делить на бесконечность, то получится ноль и наоборот.
На ноль делить нельзя: нелогично
Рассмотрим простой пример:
- а × 0 = 0;
- b × 0 = 0;
- значит: а × 0 = b × 0;
- отсюда: а = b.
Таким образом, любое число оказывается равным любому числу, а это невозможно.
Делением называют действие, обратное по отношению к умножению. Это означает, что при делении 6 на 3 необходимо отыскать число, которое в случае умножения на 3 даст 6.
Следуя этой логике, при делении 6 на 0, нужно выбрать число, умножение на 0 которого даст 6. То есть а × 0 = 6? Но а × 0 = 0! Снова неувязка. Сколько нам необходимо нолей, чтобы вышло 6? Неужели бесконечно много? Но и сложение такого количества нолей даст только ноль.
Отсюда и еще один вывод о том, что если ноль делить на ноль, выйдет неопределенный итог. В уравнении 0 × а = 0 в качестве составляющей «а» может оказаться все что угодно. В бесчисленном множестве решений смысла нет.
Можно ли делить ноль: жизненное объяснение
Представьте, что необходимо подсчитать время, за которое пройдете 10 километров. Известно уравнение, в котором для поиска длины пути скорость умножают на время. Чтобы найти время в нашем случае, будем путь делить на показатель скорости. Но что если наша скорость нулевая?
Мы не двигаемся, поэтому идти заветных 10 км нам предстоит вечность. Время при таких условиях попросту перейдет в бесконечную величину, которую подсчитать не выйдет.
Делить на ноль можно, но бессмысленно
Алгебра и деление на ноль: Freepick
Что собой представляет деление в алгебре:
- Например, 10 : 2 равноценно вопросу, сколько двоек помещается в десятке. Ответ — пять двоек. То есть 10 : 2 = 5.
- А если вопрос: 10 : 0 = ? Сколько нулей в десятке? Да сколько угодно. Бесконечность.
Давайте проделаем ту же операцию с вещами. Например: если разложить 10 яблок по 2 штуки в коробки, то сколько необходимо коробок? Ответ — 5 коробок. Но в случае, если раскладывать 10 яблок по ноль единиц в коробки, то сколько коробок понадобится? Получается, что в коробках необходимости попросту нет, потому что класть в них нечего.
Деление на ноль: самое простое объяснение
Посчитаем: 12 : 2 = 6, 12 : 4 = 3. Чем больше число знаменателя, тем меньше получается результат. Наоборот это правило тоже работает: для маленьких чисел результат больше: 12 : 1,5 = 8, 12 : 1 = 12.
Что получится с очень малыми числами? Например, с 0,0000001 выйдет 100000000. При уменьшении знаменателя до нуля число должно получиться огромнейшее, а точнее — бесконечность.
Таким образом, на ноль делить нельзя из-за отсутствия материального выражения бесконечности. Итог такого действия смысла не имеет. Что касается высшей математики, то, кроме ноля, она оперирует также понятием о бесконечно малом и расширяет привычные горизонты вычислений.
Итак, почему нельзя делить на ноль? В рамках алгебры такая операция не определенная, не логичная и абстрактная. Если хотите детальнее разобраться в этом вопросе, то придется прибегнуть к высшей математике. Чтобы разобраться с позиции этой дисциплины с указанным алгебраическим правилом, нужно познакомиться с дельта-функцией Дирака и прочими сложными понятиями.
Ноль шансов: почему мы не делим на ноль?
С первого класса на уроках математики нам повторяют правило: на ноль делить нельзя. А почему нельзя? И что произойдет, если все-таки попробовать разделить? Давайте разбираться.
Что такое деление?
Прежде чем пытаться делить на ноль, нужно понять, что вообще такое деление и как оно работает. Возьмем для примера число восемь и поделим его на несколько чисел: 8:8 = 1, 8:4 = 2, 8:2 = 4, 8:1 = 8. Можно заметить, что чем меньше число, на которое мы делим, тем больше получается результат от деления. Логично предположить, что, если делитель уменьшить еще сильнее, до нуля, частное вырастет до бесконечности. Но так ли это на самом деле?
Математики знают лишь то, что, если делитель стремится к нулю, частное стремится к бесконечности. Но это вовсе не значит, что результат деления на ноль равен бесконечности.
Давайте введем еще одно понятие — обратные числа. Что это?
Посмотрим на те же примеры с другой стороны. При делении восьми на два получается четыре. Тот же самый результат можно получить, умножив восемь на одну вторую: 8:2 = 4 → 8 × ½ = 4. А чтобы из восьми получить единицу, можно либо разделить восемь на восемь, либо умножить восемь на одну восьмую. Получается, что деление можно заменить умножением — для этого достаточно заменить второе число в примере на «перевернутую» версию себя или на обратное число: 8:8 = 1 → 8 × ⅛ = 1.
Почему у нуля нет обратного числа?
Взаимно обратные числа обладают еще одним важным свойством: их произведение всегда равно одному: 8 × ⅛ = 1; 5 × ⅕ = 1; 2 × ½ = 1. Значит, вместо того, чтобы пытаться разделить какое-то число на ноль, достаточно умножить его же на обратное нулю число. Какое число обратно нулю? Такое, которое при умножении на ноль давало бы единицу: 0 × ? = 1. Но не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы что-то кроме нуля!
Можно ли ввести специальное число, обратное нулю?
В математике так нередко делают — например, нельзя извлечь квадратный корень из -1. Но математики ввели специальное число i = √-1, которое открыло много возможностей работы со сложными числами. Мы могли бы договориться, что знак бесконечность ∞ означает нужное нам обратное нулю число: ∞ = 1/0. Можно ли таким числом пользоваться и совершать операции?
0 × ∞ = 1. Пока все в порядке. Тогда 1+1 = 2 можно представить как (0 × ∞) + (0 × ∞) = 2. Это выражение можно сократить до (0 + 0) × ∞ = 2. Но получившееся выражение 0 × ∞ = 2 противоречит нашим изначальным условиям!
Число, обратное нулю, не работает в привычной нам математике и нарушает все ее правила.
Позволяет ли математика делить сам ноль на ноль?
Если попытаться разделить ноль на ноль, ситуация меняется: в таком случае нужно подобрать число, которое при умножении на ноль дало бы ноль: 0 × ? = 0. Получаем проблему, противоположную предыдущей, ведь на этот раз под интересующее нас условие подходит любое число. А так как однозначный ответ выбрать невозможно, говорят, что результат деления нуля на ноль не определен .
Получается, что разделить ноль на ноль нам мешает отсутствие однозначного результата. Любое другое число разделить на ноль не получается из-за самого определения деления как действия, обратного умножению: нет таких чисел, которые при умножении на ноль давали бы не ноль. А значит, и деление на ноль в обычной математике просто не имеет смысла.
Лекция Андрея Новикова: когда нельзя, но очень хочется делить на ноль
Нельзя делить на ноль, нельзя извлекать корень из отрицательных чисел. Эти и многие другие «нельзя» математики установили сами. И они же находят варианты, когда эти ограничения не работают. Кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры математического анализа Института математики и механики КФУ Андрей Новиков рассказывает, почему для математики практически нет ограничений и что произойдет с военным крейсером, если его программа поделит число на ноль. Интернет-газета «Реальное время» продолжает публикации лекций в рамках проекта «Открытый лекторий».
От нуля до бесконечности один шаг
В мире существует много ограничений, например, нельзя делить на ноль, нельзя вычислять корень из отрицательных чисел, нельзя качаться на стульях, нельзя играть со спичками. Многие эти факты принимаются как есть. Но почему нельзя делить на ноль и что делать, когда нельзя, но очень хочется?
— Все знают, что на ноль делить нельзя, потому что непонятно, что в итоге должно получиться. Правда ли, что нельзя? Говорят, можно, если осторожно. Математика — старая наука, и она придумала множество уловок, как обойти это ограничение, — начал лекцию ученый. — Деление — это количество действий, которые совершаются до тех пор, пока от изначального числа ничего не остается. Вам придется вычитать бесконечное число раз, так что деление на ноль дает бесконечность.
Что же происходит, если делить на ноль неосторожно? На слайде ученый демонстрирует пример, когда неосторожное деление на ноль привело к неожиданным последствиям.
— Здесь изображен ракетный крейсер Yorktown ВВС США. На нем программа поделила число на ноль, из-за чего его силовая установка отключилась. Совсем. Это называется «инцидент на Йорктауне»*.
Крейсер USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США. Фото navysite.de
Когда возникают такие ситуации, надо знать, что делать.
— Давайте посмотрим, как в такой ситуации себя ведет математика (см. 3.17 мин.). Для этого поговорим о том, что такое числа. Числа принято изображать в виде прямой. С прямой можно сопоставить окружность. На рисунке из точки N, которая обозначает Северный полюс, проведен отрезок к точке Р. Если мы будем переводить точку P в точку Р’, то это отображение переведет окружность в прямую, — рассказал Андрей Новиков.
Такую операцию можно провести с любой точкой, кроме точки N. Если провести прямую через нее, то получится параллельная прямая, и она будет соответствовать бесконечности. Операция «один делить на число» переворачивает окружность. Поэтому если 1 поделить на ноль, то получится бесконечность, а если 1 поделить на бесконечность, то получится ноль. Это уловка, интерпретация, но именно так это работает, уточнил ученый.
Можно ли вычислить корень из отрицательного числа?
Всем известно со школы, что и корень из отрицательного числа вычислять нельзя (см. 5.15 мин).
— Правда ли это? На самом деле нет. Оно может быть любым, любым комплексным числом, — рассказывает лектор.
Это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1.
— В первую очередь мы вводим специальное число I, которое в квадрате будет давать –1 и интерпретируем комплексные числа, как пару вещественных чисел (это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел, — прим. ред.). Одно из них отвечает за вещественную часть, другое — за мнимую. Есть еще одна интерпретация этих чисел с помощью тригонометрии. Она позволяет вычислить корень из отрицательных и любых комплексных чисел. Извлечение корня приведет к извлечению корня из модуля и уменьшению угла в два раза, — объясняет ученый.
На рисунке (см. 6.20 мин.) изображен перевод сферы, кроме одной точки в плоскость. Комплексные числа соответствуют плоскости, поэтому их можно перевести на точки сферы. Все, кроме одной, — точки бесконечности. Делить можно на любые комплексные числа и опять получать бесконечность. Отображение плоскости в сферу называется стереографической проекцией.
В презентации ученый показывает, что будет, если глобус перевести в стереографическую проекцию (см. 7.37 мин.).
Комплексные числа соответствуют плоскости, поэтому их можно перевести на точки сферы. Все, кроме одной, точки бесконечности
Сегодня в математике возможно все
Напоследок ученый «прошелся» еще под одной «аксиоме», которая известна всем, имеющим отношение к математике.
— Те, кто сдает математику, в курсе, что извлекать логарифм из отрицательного числа тоже нельзя. Можно. Только в этом случае опять получатся комплексные числа. Здесь представлены две формулы, которые все описывают.
На слайде на 8.35 минуте ученый демонстрирует как выглядит извлечение логарифма из отрицательного числа.
— Все ли это, на чем снимаются ограничения? Нет, не все. Математика так часто развивается: сначала определяются условия для произведения действий, например, брать производные, интегрировать, а потом эти условия оспариваются и ослабляются, — объясняет Андрей Новиков.
Как еще один пример — математическое допущение, что дифференцированная функция непрерывна. Нет, оказывается, можно дифференцировать разрывные функции (см. 9.46 мин.).
— А можно еще складывать расходящиеся ряды. Это не очень просто, но если сложить числа 1, –1, 1, –1, 1, –1 и т. д., то получится ½, а если начать с –1, то получится –½. Математика может все, — говорит лектор.
В математике много смешного. Например, можно просуммировать все натуральные числа и получить –1/12.
— Суммируем положительные, получаем отрицательные так бывает. Но для этого нужно изучать такую вещь, как Дзета-функция Римана, — говорит лектор.
В математике многие арифметические действия можно производить по-разному. Можно определить, что что-то мы делаем одним способом, понять, что этим способом сделать нельзя и делать другим. На этом базируется наука, математика развивается. Математика может все, кроме того, что она определила как невозможное.
Справка
*21 сентября 1997 года, в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всех машин в системе, в результате чего прекратила работу двигательная установка корабля. На Yorktown были установлены 27 компьютеров Pentium-Pro на 200 МГц, которые позволяли автоматизировать управление кораблем без участия человека.
На компьютеры крейсера установили новую программу для управления главным двигателем. Один из инженеров, занимавшийся калибровкой топливных клапанов занес в расчетную ячейку программы нулевое значение. 21 сентября программа произвела деление на этот самый ноль. Произошел сбой в софте компьютера, который по цепной реакции перекинулся на другие системы управления. В результате экипажу потребовалось более трех часов, чтобы подключить аварийную систему управления.
Можно ли делить на ноль? Отвечает математик
Евгений Ширяев, преподаватель и руководитель Лаборатории математики Политехнического музея, рассказал АиФ.ru о делении на ноль:
1. Юрисдикция вопроса
Согласитесь, особенную провокационность правилу придает запрет. Как это нельзя? Кто запретил? А как же наши гражданские права?
Ни конституция РФ, ни Уголовный кодекс, ни даже устав вашей школы не возражают против интересующего нас интеллектуального действия. А значит, запрет не имеет юридической силы, и ничто не мешает прямо тут, на страницах АиФ.ru, попробовать что-нибудь разделить на ноль. Например, тысячу.
2. Разделим, как учили
Вспомните, когда вы только узнали, как делить, первые примеры решали спроверкой умножением: результат, умноженный на делитель должен был совпасть сделимым. Не совпал — не решили.
Пример 1. 1000 : 0 =.
Забудем на минуту про запретное правило и сделаем несколько попыток угадать ответ.
Неправильные отсечёт проверка. Перебирайте варианты: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для каждого из них проверка даст один и тот же результат:
100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0
Ноль умножением все превращает в себя и никогда в тысячу. Вывод сформулировать несложно: никакое число не пройдет проверку. Т. е. ни одно число не может быть результатом деления ненулевого числа на ноль. Такое деление не запрещено, а просто не имеет результата.
3. Нюанс
Чуть не упустили одну возможность опровергнуть запрет. Да, мы признаем, что ненулевое число не разделится на 0. Но может быть, сам 0 сможет?
Пример 2. 0 : 0 = .
Ваши предложения для частного? 100? Пожалуйста: частное 100, умноженное на делитель 0, равно делимому 0.
Еще варианты! 1? Тоже подходит. И −23, и 17, и все-все-все. В этом примере проверка на результат будет положительной для любого числа. И по-честному, решением в этом примере надо называть не число, а множество чисел. Всех. А так недолго договориться и до того, что Алиса это не Алиса, а Мэри-Энн, а обе они — сон кролика.
4. Что там про высшую математику?
Проблема разрешена, нюансы учтены, точки расставлены, все прояснилось — ответом для примера с делением на ноль не может быть ни одно число. Такие задачки решать — дело безнадежное и невозможное. А значит. интересное! Дубль два.
Пример 3. Придумать, как разделить 1000 на 0.
А никак. Зато 1000 можно без трудностей делить на другие числа. Ну, давайте хотя бы делать, что получается, пусть даже изменив поставленную задачу. А там, глядишь, увлечемся, и ответ сам собой объявится. Забываем на минуту про ноль и делим на сто:
Сотня далека от нуля. Сделаем шаг к нему, уменьшив делитель:
И потопали дальше:
1000 : 25 = 40,
1000 : 20 = 50,
1000 : 10 = 100,
1000 : 8 = 125,
1000 : 5 = 200,
1000 : 4 = 250,
1000 : 2 = 500,
1000 : 1 = 1000.
Очевидная динамика: чем ближе делитель к нулю, тем больше частное. Тенденцию можно наблюдать и дальше, переходя к дробям и продолжая уменьшать числитель:
Осталось заметить, что к нулю мы можем подойти как угодно близко, делая частное сколь угодно большим.
В этом процессе нет нуля и нет последнего частного. Мы обозначили движение к ним, заменив число на последовательность, сходящуюся к интересующему нас числу:
При этом подразумевается аналогичная замена и для делимого:
Стрелки не зря поставлены двусторонними: некоторые последовательности могут сходиться к числам. Тогда мы можем поставить в соответствие последовательности ее числовой предел.
Посмотрим на последовательность частных:
Она растет неограниченно, не стремясь ни к какому числу и превосходя любое. Математики добавляют к числам символ ∞, чтобы иметь возможность рядом с такой последовательностью поставить двустороннюю стрелку:
Сопоставление числам последовательностей, имеющих предел, позволяет предложить решение к третьему примеру:
При поэлементном делении последовательности, сходящейся к 1000, на последовательность из положительных чисел, сходящуюся к 0, получим последовательность, сходящуюся к ∞.
5. И здесь нюанс с двумя нулями
Что будет результатом деления двух последовательностей положительных чисел, сходящихся к нулю? Если они одинаковые, то тождественная единица. Если к нулю быстрее сходится последовательность-делимое, то в частном последовательность снулевым пределом. А когда элементы делителя убывают гораздо быстрее, чем у делимого, последовательность частного будет сильно расти:
Неопределенная ситуация. И так и называется: неопределенность вида 0/0. Когда математики видят последовательности, подходящие под такую неопределенность, они не бросаются делить два одинаковых числа друг на друга, а разбираются, какая из последовательностей быстрее бежит к нулю и как именно. И в каждом примере будет свой конкретный ответ!
6. В жизни
Закон Ома связывает силу тока, напряжение и сопротивление в цепи. Часто его записывают в такой форме:
Позволим себе пренебречь аккуратным физическим пониманием и формально посмотрим на правую часть как на частное двух чисел. Вообразим, что решаем школьную задачу по электричеству. В условии дано напряжение в вольтах и сопротивление в омах. Вопрос очевиден, решение в одно действие.
А теперь заглянем в определение сверхпроводимости: это свойство некоторых металлов обладать нулевым электрическим сопротивлением.
Ну что, решим задачку для сверхпроводящей цепи? Просто так подставить R = 0 не выйдет, физика подкидывает интересную задачу, за которой, очевидно, стоит научное открытие. И люди, сумевшие поделить на ноль в этой ситуации, получили Нобелевскую премию. Любые запреты полезно уметь обходить!